答辩结束, 把宿舍剩下的书整理了些拿回家, 也把日记拿回去了.

有快半年日记里什么都没写, 于是把这半年来看过的所有电影的电影票都贴了上去, 也把以前写的一些信稿贴上去. 很幸运当时买了这本日记, 让我现在也能文艺一把.

除开一些political rubbish要处理, 突然间不再与学校生活有交集的状态有些不适应, 一个人憋得有点慌. 但是等到夜一深, 熟悉的感觉又回来, 翻开一段时间没看的书, 很快便进入状态, 写写算算, 能力还在. 所以也没有太多值得担心的, 倒是在这三个月准备论文的过程中, 发现很多以前学过的东西会被同时用起来, 比较满足.

最近对数学的感觉渐渐不同起来, "数学是一个整体"的感觉变得强烈了, 逐渐意识到那些抽象复杂的框架真正的make things simpler.

今天回学校注册, 考虑到路上有一两个小时, 就带了Mumford红宝书的一部分翻翻. 在代数几何的这个程度的教材中, 我特别喜欢M的书, 他的写法有种让人一看就豁然开朗的感觉; Hartshorne或Liuqing的书, 更多的需要自己去把例子和习题算清楚, 孰优孰劣很难讲, 因为我觉得如果没经历过H或L的书直接看Mumford恐怕也不会很神清气爽吧..

之前已经软了好几篇文章, 那么, 就介绍一下Mumford红宝书里的一个著名的图吧: 算术曲面 $Spec(\mathbb{Z}[X])$ 的几何. 

我们看看这张图(我在电脑上画的, 有点歪但还能看):

首先注意到, $X=Spec(\mathbb{Z}[X])\rightarrow Spec(\mathbb{Z})$ 的纤维为 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_p}$ 与 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{Q}}$, 这里 $p$ 遍历素数. 所以 X 中的点实际可以按其剩余域的特征类来分类.

观察上面的图, 这样分成一条一条竖线, 便是按域特征分类, 每一条竖线对应一个纤维. 接下来我们看看横线.

注意到 $\mathbb{F}_p[X]$ 是一个PID, 故其素理想是由某个 $\mathbb{Q}[X]$ 上的整系数不可约多项式模 $p$ 之后生成的. 而另一方面, $\mathbb{Q}[X]$ 上的素理想总是可以由某个整系数多项式生成. 可是, $\mathbb{Q}[X]$ 上的素理想的整系数生成元模 $p$ 之后未必还是不可约的, 它往往经过这样的约化后最多可在有限域上分解成跟它的次数一样多个点, 这从上面那个图来看, 就是从一个点出发的横线"分裂"成了多条并且可能与竖线有多个交点. 比如在上图中从 $(x^2+1)$ 出发的线就分裂成两条后在纤维 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_5}$ 处交了两个点. 但是另一方面, 分解出来的直线的交点也有可能跟其它横线的交点所重合, 比如在上图中 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_2}$ 处, $x+1$ 与 $x^2+1$ 对应着一个点. 

所以如果把那些一大坨的generic points也串在一起的话, 一条一条的横线就代表着另一种将 $X$ 上的点"分类"的方法. 这里之所以加上引号是因为与竖线的情况不同, 此处的分类并不是真正的每个点唯一属于一类: 因为如上面所讲, 每个点有可能是多个横线的交点, 故可能被归入多类!

通过上面的图和描述, 我们现在可以把 $\mathbb{Z}[X]$ 上的素理想分成这样四类:

1. the generic point (0)

2. 整系数($\mathbb{Q}$-)不可约多项式生成的主理想.

3. 有理素数生成的主理想.

4. 由一个有理素数与一个整系数($\mathbb{Q}$-)不可约多项式生成的极大理想.

更详细的介绍参见

进一步的介绍参见

昨天周期性心情不佳, 然后翻了些杂书, 看到一句话

"揽镜自照, 不如以人为镜"..

仔细一想, 这不就是:

an object should be identified as the morphisms into itself, $$X\mapsto h_X(*)=\mathfrak{Mor}(*,X).$$

汗...哈哈哈

另外说一句, 这个blog以后不再更新...新年补充两个字: "才怪"........

定理: 任意mod 4余1的素数p可写为两个整数的平方和.

证明: 由于有限集$S=\{(x,y,z)\in \mathbb{N}^3\ |\ x^2+4yz=p\}$上的自逆变换

$(x,y,z) \mapsto \left\{ \begin{array}{cc}(x+2z,z,y-x-z) & \text{if } x < y-z \\ ( 2y-x, y, y-x+z ) & \text{if } y-z < x <2y \\ ( x-2y, x-y+z, y ) & \text{if }  x > 2y\end{array}\right.$

恰好有唯一一个不动点, 从而|S|为奇数, 从而S上的变换$(x,y,z)\mapsto (x,z,y)$也存在不动点. 证毕!

真牛逼, 杠杠的...这个证明是Zagier1990年给出的

生成函数方法是一个经常给我们带来小惊喜的方法, 这里将用生成函数方法证明上一篇文章开头提到的命题: 对有限个复数 $\{\alpha_i\}$, $\limsup_n|\sum \alpha_i^n|^{1/n}=\max_i|\alpha_i|$.

证:

考虑函数 $W(t)=\sum \frac{1}{1-\alpha_it}$, 做级数展开得: $W(t)=\sum_n(\sum_i\alpha_i^n)t^n$. 这样实际上就已经证完了, 因为上述第一个等式表示 W 的级数展开的收敛半径是 $\frac{1}{\max_i|\alpha_i|}$, 而第二个等式则说其收敛半径是 $\frac{1}{\limsup_n|\sum \alpha_i^n|^{1/n}}$. 于是这两个数当然就是相等的..